1

e The trio that made the classic 1980 album Ace Of Spades were Lemmy (bass, vocals), Phil "Philthy Animal" Taylor (guitar) and "Fast" Eddie Clarke (drums). 0 e

Two millennia after Euclid, Euler proved that the formula 2n-1(2n - 1) will yield all the even perfect numbers. J. E. Z. Chein, "An odd perfect number has at least 8 prime factors", Doctoral Thesis, Pennsylvania State University, 1979. There are a number of results on perfect numbers that are actually quite easy to prove but nevertheless superficially impressive; some of them also come under Richard Guy's Strong Law of Small Numbers: The sum of proper divisors gives various other kinds of numbers. Amer. 2 [1] Also, it has been conjectured that there are no odd Ore's harmonic numbers. In some form Book VII stems from Theaetetus and Book VIII from Archytas.…, ” In mathematics, a perfect number is one that equals the sum of its divisors (excluding itself), and 6 is the first perfect number in this sense because its divisors are 1, 2, and 3. ) )

Florian Luca, The anti-social Fermat number.

If any of the numbers are links, you can hear a recording by clicking on them. {\displaystyle e_{0}\equiv 1{\pmod {4}}} ≡ {\displaystyle \sigma (2^{p-1})=\sum _{k=0}^{p-1}2^{k}=2^{p}-1=M_{p}.}. 1 6 is the first perfect number. 2 The earliest extant mathematical result concerning perfect numbers occurs in Euclid’s Elements (c. 300 bce), where he proves the proposition: If as many numbers as we please beginning from a unit [1] be set out continuously in double proportion, until the sum of all becomes a prime, and if the sum multiplied into the last make some number, the product will be perfect. ) 69 (2000), 867-879. Till January 2013, only 48 Mersenne primes are known. should be prime. Two millennia after Euclid, Euler proved that the formula 2 n -1 (2 n - 1) will yield all the even perfect numbers.

n

So there are an infinite number of Pythagorean Triples.

K. K. Norton, "Remarks on the number of factors of an odd perfect number", Acta Arith., 6 (1960/1961), 365-374.

) Any odd perfect number N must satisfy the following conditions: Let

J.

6 is the first perfect number. = Omissions? . be odd perfect number. - 604年）はこれとは一線を画し、「6 はそれ自体完全な数である。神が万物を6日間で創造したから 6 が完全なのでなく、むしろ逆が真である」としている[1]。, ことが彼の著書『原論』で証明されている[注釈 2]。2n − 1 が素数であるためには n が素数である必要がある（証明はメルセンヌ数#基本的な性質を参照）ため、2p − 1 が素数となる素数 p の探求が現在でも行われている。, このことから、紀元前、古代ギリシアでは完全数として 6, 28, 24(25 − 1) = 496, 26(27 − 1) = 8128 が知られていた。, その後、オイラーが登場するまでは、完全数は 212(213 − 1) = 33550336, 216(217 − 1) = 8589869056, 218(219 − 1) = 137438691328 が発見されただけであった。, 1644年、マラン・メルセンヌは「素数 p で 2p − 1 が素数になるのは、p ≦ 257 では p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 の11個の場合だけである」という予想を公表した。この予想は、その後の歴史を見ても画期的、先駆的であったことに敬意を表し、現在では Mn = 2n − 1 をメルセンヌ数、とくに素数であるものはメルセンヌ素数と呼ばれている。, オイラーはメルセンヌの予想発表から128年後の1772年、p = 31 では素数になることを証明した。また、オイラーは、偶数の完全数でこの生成式以外から得られる完全数はないのかという長年の未解決問題を、偶数の完全数はユークリッドの式の形に限るという形で証明している[3][4][注釈 1]。, エドゥアール・リュカは19年かけて39桁の自然数 2127 − 1 が素数であることを確かめ、その結果、1876年、77桁の完全数を発見した。2127 − 1 は、1951年まで具体的に計算された素数のうち最大のものであった[8][9]。リュカは M67 が素数でないことを、素因数分解するのでなく、ある巧妙な素数判定法を考案して証明した。この素数判定法は現在 GIMPS で用いられるリュカ–レーマー・テスト (Lucas–Lehmer primality test) の基礎になっている。, 1952年、ラファエル・M・ロビンソンが SWAC を利用して M521 から M2281 まで、5つのメルセンヌ素数を発見して以来、メルセンヌ素数の発見にはコンピュータが用いられている。現在では1996年発足した、分散コンピューティングプロジェクト GIMPS により、35番目のメルセンヌ素数 M1,398,269（1996年11月13日、Joel Armengaud）以来、GIMPSによるメルセンヌ素数の発見が相次いでいる。, 2018年12月現在、メルセンヌ素数は51個まで知られている（ただし、順番が確定しているものは、47番目までであり、さらに48, 49, 50, 51番目の候補として p = 57885161, 74207281, 77232917, 82589933 が挙がっており、間に素数がないかどうか検証中である）。, 偶数の完全数 2p−1(2p − 1) = (Mp+1)Mp/2 は Mp 番目の三角数でもある。, 偶数の完全数は、Mp = 2p − 1 が素数のときの 2p−1Mp に限る（ユークリッド、オイラー）。, よって、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N = 2p−1Mp の約数の総和 σ(N) は、, このとき、 The perfect numbers would alternately end in 6 or 8. G. L. Cohen, R. J. Williams, "Extensions of some results concerning odd perfect numbers", Fibonacci Quart. This means there are 48 perfect numbers known, the largest being 257,885,160 × (257,885,161 - 1) with 34,850,340 digits. T. Roberts, "On the Form of an Odd Perfect Number", Australian Mathematical Gazette, 35:4 (2008), 244, R. P. Brent, Graeme L. Cohen, H. J. J. te Riele, "Improved techniques for lower bounds for odd perfect numbers", Math. − In order for The mystical tradition was continued by the Neo-Pythagorean philosopher Nicomachus of Gerasa (fl. {\displaystyle 2^{n}-1} Therefore, every Mersenne prime will yield a distinct even perfect number–there is a concrete one-to-one association between even perfect numbers and Mersenne primes. No odd perfect numbers are known, but it…. If you can provide recordings, please cont Note Decimal point (2007), 2241-2248.

Douglas E. Iannucci, The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred. e =

e

The first thoughts that come to mind when we hear the word 'Trio' are The Bee Gees, The Three Musketeers, The Three Stooges, and the likes.

By definition, a perfect number is a fixed point of the restricted sum-of-divisors function s(n) = σ(n) − n, and the aliquot sequence associated with a perfect number is a constant sequence. 2 . . ( p Other perfect numbers include 28, 496 and 8128. 0 Math. J. Touchard, "On prime numbers and perfect numbers", Scripta Math. ( to be prime, it is necessary that The discovery of such numbers is lost in prehistory. This result is often referred to as the "Euclid-Euler Theorem". Comp. It is still not known if there are infinitely many Mersenne primes and perfect numbers. 濃密な白まゆ泡で包み込み、 しっとりしたすっぴんへ洗い上げる洗顔料が「パーフェクトホイップ」です。うるおいのある肌の青、ハリのある肌のピンク、ワントーン明るい肌の白。3色のラインナップから、あなたがなりたい肌に合わせて選んでみてくださいね。 13 Comp.

75個以上であることを示した、以前の結果は K. G. Hare, "New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number", Math.

{\displaystyle n} This page was last changed on 15 May 2018, at 13:13. . ) ) 52 (1949), 201—211. − Pace P. Nielsen, Odd perfect numbers have at least nine different prime factors. p 完全数（かんぜんすう、英: perfect number）とは、自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。完全数の最初の3個は 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)、496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248) である。「完全数」は「万物は数なり」と考えたピタゴラスが名付けた数の一つであることに由来する[1]が、彼がなぜ「完全」と考えたのかについては何も書き残されていないようである[1]。中世の『聖書』の研究者は、「6 は「神が世界を創造した（天地創造）6日間」、28 は「月の公転周期」で、これら2つの数は地上と天界における神の完全性を象徴している」[1]と考えたとされる[2]。古代ギリシアの数学者は他にもあと2つの完全数 (496, 8128) を知っていた[1]。以来、完全数はどれだけあるのかの探求が2500年以上のちの現在まで続けられている。, 完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、N が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(N) = 2N が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。, 完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀頃のユークリッドである。彼は『原論』（第9巻、命題36）で、2n − 1 が素数ならば、2n−1(2n − 1) は完全数であることを証明した。2n − 1 が素数となるには n が素数である必要があるため、これにより、2p − 1 が素数となる素数 p の探求に終始されることとなる。2p − 1 を通常 Mp で表し、メルセンヌ数という。メルセンヌ数が素数であるかの判定法が考案され（リュカ1876年、デリック・ヘンリー・レーマー（英語版）1930年代）、1950年代からコンピュータが使われるようになり、現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われている（詳細はメルセンヌ数を参照）。, ユークリッドの生成式以外から得られる偶数の完全数は存在しないのかという問題は18世紀までは未解決であったが、レオンハルト・オイラーは偶数の完全数はこの形に限ることを証明した[3][4][注釈 1]。, 2020年10月現在発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく51個である[5]。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数は無数に存在するか？」、「奇数の完全数は存在するか？」という問題は未解決である。, 6 と 28 がなぜ「完全」であるかは中世の学者の議論の対象になり、6 は神が創造した1週間（日曜日は神が天地創造を終えて休んだ安息日で、キリスト教ではこれを除外する）、28 は「月の公転周期」とされた[1]。聖アウグスティヌス（? Numbers like 6 that equal the sum of their factors are called perfect numbers.

4 Updates? Euclid’s formula forces any perfect number obtained from it to be even, and in the 18th century the Swiss mathematician Leonhard Euler showed that any even perfect number must be obtainable from Euclid’s formula. 1

T. Goto and Y. Ohno, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10, P. M. Jenkins, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10, P. Hagis, Jr. and G. L. Cohen, "Every odd perfect number has a prime factor which exceeds 10.



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